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等比数列前n项和公式推导过程

等比数列前n项和公式是怎么推导的?想必许多同学对这个问题存有疑惑。下面,就跟小编一起来看看吧。

等比数列前n项和公式是怎么推导的?想必许多同学对这个问题存有疑惑。下面,就跟小编一起来看看吧。

等比数列前n项和公式推导过程插图

等比数列前n项和公式如何推导

等比数列前n项和公式:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

推导如下:

因为an=a1q^(n-1)

所以Sn=a1+a1*q^1+…+a1*q^(n-1)(1)

qSn=a1*q^1+a1q^2+…+a1*q^n(2)

(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

于是得到

(1-q)Sn=a1(1-q^n)

即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

等比数列前N项和的性质

1、若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;

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2、在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列。“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”;

3、若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则(a2n),(a3n)…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…(can),c是常数,(an*bn),(an/bn)是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2;

4、按原来顺序抽取间隔相等的项,仍然是等比数列;

5、等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比;

6、若(an)为等比数列且各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等差,公差为log以a为底q的对数;

7、等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)(8)数列{An}是等比数列,An=pn+q,则An+K=pn+K也是等比数列,在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.注意:上述公式中A^n表示A的n次方;

8、由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

等比数列前n项和函数特性

|an=a1.q^bai(n-1)

Sn=a1+a2+…+an

=a1(1+q+q^2+…+q^n)

=a1(1-q^n)/(1-q)

Note:(1-q)(1+q+q^2+…+q^n)=1-q^n

|q|<1

S(∞du)

=lim(n->∞)Sn

=lim(n->∞)a1(1-q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)

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