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常见的泰勒公式展开式大全

泰勒公式展开式都有哪些?下面,小编整理了一些常见的泰勒公式展开式,希望对你们有帮助。

泰勒公式展开式都有哪些?下面,小编整理了一些常见的泰勒公式展开式,希望对你们有帮助。

常见的泰勒公式展开式大全插图

常见的泰勒公式展开式

常见的泰勒公式展开式大全插图(1)

泰勒公式展开的技巧

泰勒公式在x=a处展开为

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f”(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……

设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①

令x=a则a0=f(a)

将①式两边求一阶导数,得

f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②

令x=a,得a1=f'(a)

对②两边求导,得

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f”(x)=2!a2+a3(x-a)+……

令x=a,得a2=f”(a)/2!

继续下去可得an=f(n)(a)/n!

所以f(x)在x=a处的泰勒公式为:

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f”(a)/2!](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……

应用:用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数,从而可以进行近似计算,也可以计算极限值,等等。

另外,一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理

f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b之间。

泰勒公式有什么用途

泰勒公式展开在物理学应用!

物理学上的一切原理定理公式都是用泰勒展开做近似得到的简谐振动对应的势能具有x^2的形式,并且能在数学上精确求解。为了处理一般的情况,物理学首先关注平衡状态,可以认为是“不动”的情况。为了达到“动”的效果,会给平衡态加上一个微扰,使物体振动。在这种情况下,势场往往是复杂的,因此振动的具体形式很难求解。这时,Taylor展开就开始发挥威力了!

理论力学中的小振动理论告诉我们,在平衡态附近将势能做Taylor展开为x的幂级数形式,零次项可取为0,一次项由于平衡态对应的极大/极小值也为0,从二次项开始不为零。如果精确到二级近似,则势能的形式与简谐运动完全相同,因此很容易求解。这种处理方法在量子力学、固体物理中有着广泛应用。

反思一下这么处理的原因:首先,x^2形式的势能对应于简谐运动,能精确求解;其次,Taylor级数有较好的近似,x^2之后的项在一定条件下可以忽略。这保证了解的精确性。

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